Prinsip Desain Lereng Batu – 1.4 Metode desain lereng batuan

1.4 Metode desain lereng batuan
Bagian ini merangkum empat prosedur berbeda untuk mendesain lereng batuan, dan menunjukkan data dasar yang diperlukan untuk menganalisis stabilitas lereng. Metode desain dan data desain sama-sama digunakan untuk pertambangan dan teknik sipil.

Tabel 1.1 Definition of landslides features

1.4.1 Ringkasan metode desain
Ciri dasar dari semua metode desain lereng adalah bahwa geser terjadi di sepanjang permukaan geser diskrit, atau di dalam zona, di belakang permukaan. Jika gaya geser (gaya geser) lebih besar dari kuat geser batuan (gaya tahan) pada permukaan ini, maka lereng akan tidak stabil. Ketidakstabilan dapat berupa perpindahan yang mungkin atau mungkin tidak dapat ditoleransi, atau lereng dapat runtuh secara tiba-tiba atau secara bertahap. Definisi ketidakstabilan akan tergantung pada aplikasinya. Misalnya, lereng tambang terbuka dapat mengalami perpindahan beberapa meter tanpa mempengaruhi operasi, sedangkan lereng yang menopang penyangga jembatan akan memiliki sedikit toleransi terhadap pergerakan. Selain itu, jatuhnya batu tunggal dari lereng di atas jalan raya mungkin tidak terlalu berdampak jika ada parit yang memadai untuk menampung jatuhnya, tetapi kegagalan sebagian besar lereng yang mencapai permukaan yang dilalui dapat menimbulkan konsekuensi serius.

Tabel 1.2 Definition of landslides dimensions

Berdasarkan konsep stabilitas lereng ini, stabilitas lereng dapat dinyatakan dalam satu atau
lebih dari istilah berikut:
(a) Faktor keamanan, FS — Stabilitas diukur dengan kesetimbangan batas lereng, yang stabil
jika FS> 1.
(b) Strain — Kegagalan yang ditentukan oleh onset strain yang cukup besar untuk mencegah pengoperasian yang aman dari
kemiringan, atau laju pergerakan melebihi laju penambangan di tambang terbuka.
(c) Probabilitas kegagalan — Stabilitas diukur dengan distribusi probabilitas perbedaan
antara gaya penahan dan pemindahan, yang masing-masing dinyatakan sebagai distribusi probabilitas.
(d) LRFD (desain faktor beban dan resistansi) —Stabilitas ditentukan oleh faktor resistansi
lebih besar dari atau sama dengan jumlah beban terfaktor.

Tabel 1.3 Values of Minimum total safety

Saat ini (2003), faktor keamanan merupakan metode desain lereng yang paling umum, dan terdapat pengalaman luas dalam aplikasinya pada semua jenis kondisi geologi, baik untuk batuan maupun tanah. Selain itu, ada faktor nilai keamanan yang diterima secara umum untuk lereng yang digali untuk tujuan berbeda, yang mendorong persiapan desain yang cukup konsisten. Kisaran total faktor keselamatan minimum seperti yang diusulkan oleh Terzaghi dan Peck (1967) dan Canadian Geotechnical Society (1992) diberikan pada Tabel 1.3.

Pada Tabel 1.3, nilai atas dari total faktor keselamatan berlaku untuk beban biasa dan kondisi pelayanan, sedangkan nilai yang lebih rendah berlaku untuk beban maksimum dan kondisi geologi yang diperkirakan terburuk. Untuk tambang terbuka, faktor keselamatan yang umumnya digunakan adalah dalam kisaran 1,2–1,4, menggunakan analisis ekuilibrium batas untuk menghitung secara langsung faktor keselamatan, atau analisis numerik
untuk menghitung timbulnya ketegangan berlebih di lereng.

Meskipun metode desain probabilistik untuk lereng batuan pertama kali dikembangkan pada tahun 1970-an (Harr, 1977; Canada DEMR, 1978), metode tersebut tidak digunakan secara luas (pada tahun 2003). Alasan yang mungkin untuk kurangnya penerimaan ini adalah bahwa istilah seperti “probabilitas kegagalan 5%” dan “konsekuensi kegagalan Prinsip desain lereng batuan 11 yang dinyatakan sebagai nyawa hilang” tidak dipahami dengan baik, dan ada pengalaman terbatas tentang probabilitas yang dapat diterima untuk digunakan dalam desain (lihat Bagian 1.4.4).

Perhitungan regangan di lereng merupakan kemajuan terbaru dalam desain lereng. Teknik ini dihasilkan dari pengembangan metode analisis numerik, dan khususnya yang dapat menggabungkan diskontinuitas (Starfield dan Cundall, 1988). Ini paling banyak digunakan di bidang pertambangan di mana pergerakan dapat ditoleransi, dan lereng mengandung berbagai kondisi geologi (lihat Bab 10).

Metode desain faktor beban dan hambatan (LRFD) telah dikembangkan untuk desain struktural,
dan sekarang diperluas ke sistem geoteknik seperti pondasi dan struktur penahan.
Rincian lebih lanjut dari metode desain ini dibahas dalam Bagian 1.4.5.

Faktor keamanan yang sebenarnya, kemungkinan kegagalan atau regangan yang diijinkan yang digunakan dalam desain
harus sesuai untuk setiap situs. Proses desain membutuhkan pertimbangan yang cukup besar karena berbagai faktor geologi dan konstruksi yang harus dipertimbangkan.
Kondisi yang memerlukan penggunaan faktor keamanan pada kisaran tertinggi yang dikutip dalam
Tabel 1.3 meliputi:
• Program pengeboran terbatas yang tidak mencukupi kondisi pengambilan sampel di lokasi, atau
inti bor di mana terdapat kerusakan mekanis atau kehilangan inti yang ekstensif.
• Tidak adanya singkapan batuan sehingga pemetaan struktur geologi tidak memungkinkan, dan ada
tidak ada riwayat kondisi stabilitas lokal.
• Ketidakmampuan untuk mendapatkan sampel yang tidak terganggu untuk pengujian kekuatan, atau kesulitan dalam mengekstrapolasi
hasil uji laboratorium dengan kondisi in situ.
• Tidak adanya informasi tentang kondisi air tanah, dan fluktuasi musiman yang signifikan
di permukaan air tanah.
• Ketidakpastian dalam mekanisme kegagalan lereng dan keandalan metode analisis.
Misalnya, kegagalan jenis bidang dapat dianalisis dengan cukup yakin, sementara
mekanisme rinci dari kegagalan menjatuhkan kurang dipahami dengan baik.
• Perhatian terhadap kualitas konstruksi, termasuk material, inspeksi dan cuaca
kondisi.
• Konsekuensi ketidakstabilan, dengan faktor keamanan yang lebih tinggi digunakan untuk bendungan dan
rute transportasi utama, dan nilai yang lebih rendah untuk bangunan sementara atau jalan industri
untuk operasi penebangan dan penambangan.

Buku ini tidak mencakup penggunaan sistem penilaian massa batuan (Haines dan Terbrugge, 1991;
Durn dan Douglas, 1999) untuk desain lereng. Saat ini (2003), hal itu dianggap yang sering terjadi
pengaruh diskontinuitas diskrit pada stabilitas harus, dan dapat, dimasukkan langsung ke dalamnya
analisis stabilitas. Dalam pengenal massa batuan, struktur geologi hanya salah satu komponen pengenal dan tidak boleh diberi bobot yang sesuai dalam pengenal.

Aspek penting dari semua desain lereng batuan adalah kualitas peledakan yang digunakan dalam penggalian. Rancangan
mengasumsikan bahwa massa batuan terdiri dari balok utuh, yang bentuk dan ukurannya ditentukan oleh
diskontinuitas yang terjadi secara alami. Lebih lanjut, sifat diskontinuitas ini harus dapat diprediksi dari pengamatan singkapan permukaan dan inti bor. Namun, jika peledakan yang terlalu berat digunakan yang mengakibatkan kerusakan pada batuan di belakang permukaan, stabilitas dapat bergantung pada kondisi batuan yang retak. Karena sifat batuan rekahan tidak dapat diprediksi, kondisi stabilitas juga tidak dapat diprediksi. Peledakan dan pengendalian kerusakan akibat ledakan dibahas dalam Bab 11.

1.4.2 Analisis batas ekuilibrium (deterministik)
Kestabilan lereng batuan untuk kondisi geologi yang ditunjukkan pada Gambar 1.4 (a) dan (f) tergantung pada kekuatan geser yang dihasilkan sepanjang longsoran.

Gambar 1.8 Metode penghitungan faktor keamanan balok geser: (a) Diagram Mohr menunjukkan kuat geser yang ditentukan oleh kohesi c dan sudut gesek φ; (b) resolusi gaya W akibat berat balok menjadi komponen sejajar dan tegak lurus terhadap bidang geser (dip ψp).

Untuk semua kegagalan jenis geser, batuan dapat diasumsikan sebagai material Mohr-Coulomb di mana kekuatan geser dinyatakan dalam bentuk kohesi c dan sudut gesekan φ. Untuk permukaan geser di mana terdapat tegangan normal efektif σ yang bekerja, kekuatan geser τ yang dikembangkan pada permukaan ini diberikan oleh

τ = c + σ tan φ (1.1)

Persamaan (1.1) dinyatakan sebagai garis lurus pada tegangan normal-plot tegangan geser (Gambar 1.8 (a)),
di mana kohesi ditentukan oleh intersep pada sumbu tegangan geser, dan sudut gesekan adalah
ditentukan oleh kemiringan garis. Tegangan normal efektif adalah perbedaan antara tegangan akibat berat batuan yang berada di atas bidang geser dan pengangkatan akibat tekanan air.
bertindak di permukaan ini. Gambar 1.8 (b) menunjukkan kemiringan yang mengandung sambungan terus menerus yang keluar dari permukaan dan membentuk balok geser. Perhitungan faktor keamanan untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 1.8 (b) melibatkan resolusi gaya yang bekerja pada permukaan geser menjadi komponen yang bekerja tegak lurus dan sejajar dengan permukaan ini. Artinya, jika kemiringan permukaan geser adalah ψp, luasnya A, dan berat balok yang terletak di atas permukaan geser adalah W, maka tegangan normal dan geser pada bidang geser adalah

Tegangan normal: σ = W cos ψp / A
dan tegangan geser: τs = W sin ψp / A (1.2)
dan persamaan (1.1) dapat dinyatakan sebagai
τ = c + (W cos ψp tan φ) / A (1,3)
atau
τsA = W sin ψp dan
τA = cA + W cos ψp tan φ (1.4)

Dalam persamaan (1.4), suku [W sin ψp] mendefinisikan gaya resultan yang bekerja pada bidang geser
dan disebut “gaya penggerak” (τsA), sedangkan istilah [cA + W cos ψp tan φ] mendefinisikan gaya geser
gaya-gaya kekuatan yang bekerja di atas bidang yang menahan luncuran dan disebut sebagai “gaya-gaya penahan” (τA).
Stabilitas balok pada Gambar 1.8 (b) dapat diukur dengan rasio gaya penahan dan penggerak, yang disebut faktor keselamatan, FS. Oleh karena itu, ekspresi untuk faktor
keamanan
FS = gaya penahan / gaya penggerak (1,5)
FS = (cA + W cos ψp tan φ) / (W sin ψp) (1.6)

Tegangan geser geser τs dan tegangan geser resisten τ ditentukan oleh persamaan (1.4) diplot pada Gambar 1.8 (a). Pada Gambar 1.8 (a) terlihat bahwa tegangan tahan melebihi tegangan geser, sehingga faktor keselamatan lebih besar dari satu dan kemiringan stabil.

Jika permukaan geser bersih dan tidak mengandung pengisi maka kohesi cenderung nol dan persamaan (1.6) tereduksi menjadi
FS = (cos ψp · tan φ) / sin ψp (1.7)
atau
FS = 1 ketika ψp = φ (1,8)

Persamaan (1.7) dan (1.8) menunjukkan bahwa untuk permukaan yang kering dan bersih tanpa penyangga yang terpasang, blok tersebut
batuan akan bergeser ketika sudut kemiringan permukaan geser sama dengan sudut gesekan permukaan ini,
dan stabilitas itu tidak tergantung pada ukuran balok geser. Artinya, blok tersebut dalam kondisi tertentu
dari “ekuilibrium pembatas” ketika gaya pendorong persis sama dengan gaya menolak dan
faktor keamanan sama dengan 1.0. Oleh karena itu, metode analisis stabilitas lereng dijelaskan dalam hal ini
bagian ini disebut analisis ekuilibrium batas.

Gambar 1.9 Pengaruh gaya air tanah dan baut terhadap faktor keamanan lereng batuan: (a) air tanah dan gaya baut yang bekerja pada permukaan geser; (b) Diagram Mohr tegangan yang bekerja pada permukaan geser yang menunjukkan kondisi stabilitas stabil dan tidak stabil.

Analisis kesetimbangan batas dapat diterapkan pada berbagai kondisi dan dapat menggabungkan gaya seperti gaya air yang bekerja pada permukaan geser, serta gaya penguat eksternal yang dipasok oleh jangkar batuan yang dikencangkan. Gambar 1.9 (a) menunjukkan lereng yang mengandung permukaan geser dengan luas A dan kemiringan ψp, dan retak tegangan vertikal. Kemiringan sebagian jenuh sehingga retakan tegangan setengah terisi dengan air, dan tabel air keluar di mana permukaan geser menerangi permukaan lereng. Tekanan air yang dihasilkan pada retakan tegangan dan pada permukaan geser dapat didekati dengan diagram gaya segitiga dimana tekanan maksimum, p pada dasar retakan tegangan dan ujung atas permukaan geser diberikan oleh
p = γw hw (1.9)
dengan γw adalah satuan berat air dan hw adalah tinggi vertikal air pada retakan tegangan.
Berdasarkan asumsi tersebut, gaya air yang bekerja pada retakan tegangan, V, dan pada bidang geser, U, adalah sebagai berikut:
V = 1 / 2.w.h2w dan U = 1 / 2.γw.hwA (1.10)
dan faktor keamanan lereng dihitung dengan memodifikasi persamaan (1.6) sebagai berikut:
FS = cA + (W cos ψp – U – V sin ψp) tan φ / (W sin ψp + V cos ψp) (1.11)
Demikian pula, persamaan dapat dikembangkan untuk lereng yang diperkuat di mana jangkar batuan yang dikencangkan telah dipasang dengan jangkar di bawah bidang geser.

Jika jangkar adalah T dan dipasang pada sudut ψT di bawah horizontal, maka gaya normal dan gaya geser yang bekerja pada bidang geser akibat tegangan jangkar adalah:
NT = T sin (ψT + ψp) dan
ST = T cos (ψT + ψp) (1,12)
dan persamaan yang menentukan faktor keamanan dari lereng berlabuh yang jenuh sebagian adalah
FS = cA + (W cos ψp – U – V sin ψp + T sin (ψT + ψp)) tan φ / (W sin ψp + V cos ψp – T cos (ψT + ψp))
(1.13)
Gambar 1.9 (b) menunjukkan pada diagram Mohr besarnya tegangan normal dan tegangan geser
permukaan geser yang dikembangkan oleh air dan gaya baut, dan pengaruhnya terhadap faktor tersebut
keamanan. Artinya, gaya destabilisasi (misalnya air) menurunkan tegangan normal dan meningkatkan tegangan geser, dan cenderung menyebabkan resultan gaya berada di atas garis kekuatan pembatas, yang menunjukkan ketidakstabilan (Titik B). Sebaliknya, gaya penstabil (baut dan drainase) meningkatkan tegangan normal dan menurunkan tegangan geser, dan menyebabkan resultan berada di bawah garis, yang menunjukkan stabilitas (Titik C).

Diagram gaya pada Gambar 1.9 (b) juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa sudut kemiringan optimum untuk
baut, yaitu kemiringan yang menghasilkan faktor keamanan terbesar untuk gaya jangkar batuan tertentu
ψT (opt) = φ – ψp atau φ = ψp + ψT (opt) (1.14)

Penerapan yang ketat dari persamaan (1.14) dapat menunjukkan bahwa jangkar harus dipasang di atas
horizontal, yaitu, ψT negatif. Namun, dalam praktiknya, biasanya lebih baik memasang jangkar di bawah horizontal karena ini memudahkan pengeboran dan grouting, serta menyediakan pemasangan yang lebih andal.

Contoh analisis kesetimbangan batas untuk menghitung stabilitas lereng batuan menunjukkan bahwa ini adalah metode serbaguna yang dapat diterapkan pada berbagai kondisi. Salah satu batasan metode kesetimbangan batas adalah bahwa semua gaya diasumsikan bekerja melalui pusat gravitasi balok, dan tidak ada momen yang dihasilkan.

Analisis yang dijelaskan dalam bagian ini dapat diterapkan pada balok yang meluncur pada bidang. Akan tetapi, dalam kondisi geometris tertentu, blok tersebut dapat roboh daripada bergeser, dalam hal ini harus digunakan bentuk analisis ekuilibrium batas yang berbeda. Gambar 1.10 menunjukkan kondisi yang membedakan balok stabil, balok geser, dan balok terguling dalam kaitannya dengan lebar x dan tinggi y balok, kemiringan ψp bidang tempatnya, dan sudut gesekan surface permukaan ini. Balok geser dianalisis baik sebagai kegagalan bidang atau baji (lihat Bab 6 dan 7 masing-masing), sedangkan analisis kegagalan tumbang dibahas di Bab 9. Gambar 1.10 (b) menunjukkan bahwa hanya ada kondisi terbatas di mana terjadi tumbang, dan pada Faktanya ini adalah jenis kegagalan yang kurang umum dibandingkan dengan kegagalan geser.

Referensi: Wyllie, Duncan C. Dan Mah, Christopher W (2004) Teknik lereng batu – sipil dan pertambangan edisi ke-4, London dan New York

1.4 Rock slope design methods
This section summarizes four different procedures for designing rock slopes, and shows the basic data that is required for analyzing slope stability. The design methods and the design data are common to both mining and civil engineering.

Tabel 1.1 Definition of landslides features

1.4.1 Summary of design methods
A basic feature of all slope design methods is that shear takes place along either a discrete sliding surface, or within a zone, behind the face. If the shear force (displacing force) is greater than  the shear strength of the rock (resisting force) on this surface, then the slope will be unstable. Instability could take the form of displacement that may or may not be tolerable, or the slope may collapse either suddenly or progressively. The definition of instability will depend on the application. For example, an open pit slope may undergo several meters of displacement without effecting operations, while a slope supporting a bridge abutment would have little tolerance for movement. Also, a single rock fall from a slope above a highway may be of little consequence if there is an adequate ditch to contain the fall, but failure of a significant portion of the slope that  reaches the traveled surface could have serious consequences.

Tabel 1.2 Definition of landslides dimensions

Based upon these concepts of slope stability, the stability of a slope can be expressed in one or
more of the following terms:
(a) Factor of safety, FS—Stability quantified by limit equilibrium of the slope, which is stable
if FS > 1.
(b) Strain—Failure defined by onset of strains great enough to prevent safe operation of the
slope, or that the rate of movement exceeds the rate of mining in an open pit.
(c) Probability of failure—Stability quantified by probability distribution of difference
between resisting and displacing forces, which are each expressed as probability distributions.
(d) LRFD (load and resistance factor design)—Stability defined by the factored resistance
being greater than or equal to the sum of the factored loads.

Tabel 1.3 Values of Minimum total safety

At this time (2003), the factor of safety is the most common method of slope design, and there is wide experience in its application to all types of geological conditions, for both rock and soil. Furthermore, there are generally accepted factor of safety values for slopes excavated for different purposes, which promotes the preparation of reasonably consistent designs. The ranges of minimum total factors of safety as proposed by Terzaghi and Peck (1967) and the Canadian Geotechnical Society (1992) are given in Table 1.3.

In Table 1.3, the upper values of the total factors of safety apply to usual loads and service conditions, while the lower values apply to maximum loads and the worst expected geological conditions. For open pit mines the factor of safety generally used is in the range of 1.2–1.4, using either limit equilibrium analysis to calculate directly the factor of safety, or numerical analysis
to calculate the onset of excessive strains in the slope.

Although probabilistic design methods for rock slopes were first developed in the 1970s (Harr, 1977; Canada DEMR, 1978), they are not widely used (as of 2003). A possible reason for this lack of acceptance is that terms such as “5% probability of failure” and “consequence of failure Principles of rock slope design 11 expressed as lives lost” are not well understood, and there is limited experience on acceptable probabilities to use in design (see Section 1.4.4).

The calculation of strain in slopes is the most recent advance in slope design. The technique has resulted from the development of numerical analysis methods, and particularly those that can incorporate discontinuities (Starfield and Cundall, 1988). It is most widely used in the mining field where movement is tolerated, and the slope contains a variety of geological conditions (see Chapter 10).

The load and resistance factor design method (LRFD) has been developed for structural design,
and is now being extended to geotechnical systems such as foundations and retaining structures.
Further details of this design method are discussed in Section 1.4.5.

The actual factor of safety, probability of failure or allowable strain that is used in design
should be appropriate for each site. The design process requires a considerable amount of judgment because of the variety of geological and construction factors that must be considered.
Conditions that would require the use of factors of safety at the high end of the ranges quoted in
Table 1.3 include the following:
• A limited drilling program that does not adequately sample conditions at the site, or
drill core in which there is extensive mechanical breakage or core loss.
• Absence of rock outcrops so that mapping of geological structure is not possible, and there
is no history of local stability conditions.
• Inability to obtain undisturbed samples for strength testing, or difficulty in extrapolating
laboratory test results to in situ conditions.
• Absence of information on ground water conditions, and significant seasonal fluctuations
in ground water levels.
• Uncertainty in failure mechanisms of the slope and the reliability of the analysis method.
For example, plane type failures can be analyzed with considerable confidence, while
the detailed mechanism of toppling failures is less well understood.
• Concern regarding the quality of construction, including materials, inspection and weather
conditions.
• The consequence of instability, with higher factors of safety being used for dams and
major transportation routes, and lower values for temporary structures or industrial roads
for logging and mining operations.

This book does not cover the use of rock mass rating systems (Haines and Terbrugge, 1991;
Durn and Douglas, 1999) for slope design. At this time (2003), it is considered that the frequent
influence of discrete discontinuities on stability should, and can be, incorporated directly into
stability analyses. In the rock mass rating, the geological structure is only one component of the rating and may not be given an appropriate weight in the rating.

A vital aspect of all rock slope design is the quality of the blasting used in excavation. Design
assumes that the rock mass comprises intact blocks, the shape and size of which are defined by
naturally occurring discontinuities. Furthermore, the properties of these discontinuities should be predictable from observations of surface outcrops and drill core. However, if excessively heavy blasting is used which results in damage to the rock behind the face, stability could be dependent on the condition of the fractured rock. Since the properties of the fractured rock are unpredictable, stability conditions will also be unpredictable. Blasting and the control of blast damage are discussed in Chapter 11.

1.4.2 Limit equilibrium analysis (deterministic)
The stability of rock slopes for the geological conditions shown in Figure 1.4(a) and (f) depends on the shear strength generated along the sliding surface.

Figure 1.8 Method of calculating factor of safety of sliding block: (a) Mohr diagram showing shear strength defined by cohesion c and friction angle φ; (b) resolution of force W due to weight of block into components parallel and perpendicular to sliding plane (dip ψp).

For all shear type failures, the rock can be assumed to be a Mohr–Coulomb material in which the shear strength is expressed in terms of the cohesion c and friction angle φ. For a sliding surface on which there is an effective normal stress σ
acting, the shear strength τ developed on  this surface is given by

τ = c + σ
tan φ (1.1)

Equation (1.1) is expressed as a straight line on a normal stress—shear stress plot (Figure 1.8(a)),
in which the cohesion is defined by the intercept on the shear stress axis, and the friction angle is
defined by the slope of the line. The effective normal stress is the difference between the stress due to the weight of the rock lying above the sliding plane and the uplift due to any water pressure
acting on this surface. Figure 1.8(b) shows a slope containing a continuous joint dipping out of the face and forming a sliding block. Calculation of the factor of safety for the block shown in Figure 1.8(b) involves the resolution of the force acting on the sliding surface into components acting perpendicular and parallel to this surface. That is, if the dip of the sliding surface is ψp, its area is A, and the weight of the block lying above the sliding surface is W, then the normal and shear stresses on the sliding plane are

Normal stress : σ = W cos ψp/A
and shear stress : τs = W sin ψp/A (1.2)
and equation (1.1) can be expressed as
τ = c + (W cos ψp tan φ)/A (1.3)
or
τsA = W sin ψp and
τA = cA + W cos ψp tan φ (1.4)

In equations (1.4), the term [W sin ψp] defines the resultant force acting down the sliding plane
and is termed the “driving force” (τsA), while the term [cA + W cos ψp tan φ] defines the shear
strength forces acting up the plane that resist sliding and are termed the “resisting forces” (τA).
The stability of the block in Figure 1.8(b) can be quantified by the ratio of the resisting and driving forces, which is termed the factor of safety, FS. Therefore, the expression for the factor of
safety is
FS = resisting forces/driving forces (1.5)
FS = (cA + W cos ψp tan φ)/(W sin ψp) (1.6)

The displacing shear stress τs and the resisting shear stress τ defined by equations (1.4) are plotted on Figure 1.8(a). On Figure 1.8(a) it is shown that the resisting stress exceeds the displacing stress, so the factor of safety is greater than one and the slope is stable.

If the sliding surface is clean and contains no infilling then the cohesion is likely to be zero and  equation (1.6) reduces to
FS = (cos ψp · tan φ)/sin ψp (1.7)
or
FS = 1 when ψp = φ (1.8)

Equations (1.7) and (1.8) show that for a dry, clean surface with no support installed, the block
of rock will slide when the dip angle of the sliding surface equals the friction angle of this surface,
and that stability is independent of the size of the sliding block. That is, the block is at a condition
of “limiting equilibrium” when the driving forces are exactly equal to the resisting forces and the
factor of safety is equal to 1.0. Therefore, the method of slope stability analysis described in this
section is termed limit equilibrium analysis.

Figure 1.9 The effect of ground water and bolt forces on factor of safety of rock slope: (a) ground water and bolting forces acting on sliding surface; (b) Mohr diagram of stresses acting on sliding surface showing stable and unstable stability conditions.

Limit equilibrium analysis can be applied to a wide range of conditions and can incorporate forces such as water forces acting on the sliding surface, as well as external reinforcing forces supplied by tensioned rock anchors. Figure 1.9(a) shows a slope containing a sliding surface with area A and dip ψp, and a vertical tension crack. The slope is partially saturated such that the tension crack is half-filled with water, and the water  table exits where the sliding surface daylights on the slope face. The water pressures that are generated in the tension crack and on the sliding surface can be approximated by triangular force diagrams where the maximum pressure, p at the base of the tension crack and the upper end of the sliding surface is given by
p = γw hw (1.9)
where γw is the unit weight of water and hw is the vertical height of water in the tension crack.
Based on this assumption, the water forces acting in the tension crack, V , and on the sliding plane, U, are as follows:
V =1/2.γw.h2w and U = 1/2.γw.hwA (1.10)
and the factor of safety of the slope is calculated by modifying equation (1.6) as follows:
FS = cA + (W cos ψp − U − V sin ψp) tan φ / (W sin ψp + V cos ψp) (1.11)
Similarly, an equation can be developed for a reinforced slope in which a tensioned rock anchor  has been installed with the anchor below the sliding plane. If the tension in the anchor is T and it is installed at an angle ψT below the horizontal, then the normal and shear forces acting on the sliding plane due to the anchor tension are respectively:
NT = T sin(ψT + ψp) and
ST = T cos(ψT + ψp) (1.12)
and the equation defining the factor of safety of the anchored, partially saturated slope is
FS = cA + (W cos ψp − U − V sin ψp + T sin(ψT + ψp)) tan φ/(W sin ψp + V cos ψp − T cos(ψT + ψp))
(1.13)
Figure 1.9(b) shows on a Mohr diagram the magnitude of the normal and shear stresses on
the sliding surface developed by the water and bolting forces, and their influence on the factor
of safety. That is, destabilizing forces (e.g. water) decrease the normal stress and increase the shear stress, and tend to cause the resultant of the forces to be above the limiting strength line, indicating instability (Point B). In contrast, stabilizing forces (bolting and drainage) increase the normal stress and decrease the shear stress, and cause the resultant to be below the line, indicating stability (Point C).

The force diagram in Figure 1.9(b) can also be used to show that the optimum dip angle for the
bolts, that is, the dip that produces the greatest factor of safety for a given rock anchor force is
ψT(opt) =
φ − ψp or φ = ψp + ψT(opt) (1.14)

Strict application of equation (1.14) may show that the anchor should be installed above the
horizontal, that is, ψT is negative. However, in practice, it is usually preferable to install anchors below the horizontal because this facilitates drilling and grouting, and provides a more reliable installation.

These examples of limit equilibrium analysis to calculate the stability of rock slopes show that this is a versatile method that can be applied to a wide range of conditions. One limitation of the limit equilibrium method is that all the forces are assumed to act through the center of gravity of the block, and that no moments are generated.

This analysis described in this section is applicable to a block sliding on a plane. However, under certain geometric conditions the block may topple rather than slide, in which case a different form of limit equilibrium analysis must be used. Figure 1.10 shows the conditions that differentiate stable, sliding and toppling blocks in relation to the width x and height y of the block, the dip ψp of the plane on which it lies and the friction angle φ of this surface. Sliding blocks are analyzed either as plane or wedge failures (see Chapters 6 and 7 respectively), while the analysis of toppling failures is discussed in Chapter 9. Figure 1.10(b) shows that there are only limited conditions under which toppling occurs, and in fact this is a less common type of failure compared with sliding failures.

References : Wyllie, Duncan C. And Mah, Christopher W  (2004) Rock slope engineering – civil and mining 4th edition, London and New York